Question

1．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数．且f（2）=0．
（1）求f（-2）的值；
（2）若f（1og₂x）＜f（2），求x的取值范围；
（3）若g（x）=$\sqrt{2}$asin（2x-$\frac{π}{3}$）+1-a，x∈[$\frac{7π}{24}$，$\frac{π}{2}$]，a∈R，是否存在实数a使得f[g（x）]＞0恒成立？若存在，求a的范围，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的性质即可求f（-2）的值；
（2）若f（1og₂x）＜f（2），结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可求x的取值范围；
（3）先求出f（x）＞0的解，结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-2）=f（2）=0；
（2）若f（1og₂x）＜f（2），
则不等式等价为f（|1og₂x|）＜f（2），
∵f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，
∴1og₂x＞2或1og₂x＜-2，
即x＞4或0＜x＜$\frac{1}{4}$，
即x的取值范围是x＞4或0＜x＜$\frac{1}{4}$；
（3）若偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数．且f（2）=0，
则对应的函数f（x）的图象如图：
则由f（x）＞0的解为-2＜x＜2，
若f[g（x）]＞0成立，则等价为-2＜g（x）＜2，
∵x∈[$\frac{7π}{24}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x∈[$\frac{7π}{12}$，π]，
2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，
则sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，
①若a=0，则g（x）=1，此时满足-2＜g（x）＜2恒成立，
②若a＞0，则g（x）∈[1，（$\sqrt{2}$-1）a+1]，
若-2＜g（x）＜2恒成立，则（$\sqrt{2}$-1）a+1＜2，即（$\sqrt{2}$-1）a＜1，得0＜a＜$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，即0＜a＜$\sqrt{2}$+1，
③若a＜0，则g（x）∈[（$\sqrt{2}$-1）a+1，1]，
若-2＜g（x）＜2恒成立，则（$\sqrt{2}$-1）a+1＞-2，即（$\sqrt{2}$-1）a＞-3，得$-\frac{3}{\sqrt{2}-1}$＜a＜0，即-3（$\sqrt{2}$+1）＜a＜0，
综上-3（$\sqrt{2}$+1）＜a＜$\sqrt{2}$+1．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及函数恒成立问题，根据三角函数的有界性是解决本题的关键．