题目内容

已知f（x）=x（
1
2x-1
+
1
2
）（x≠0）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）＞0．
（1）f（x）的定义域（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，下面只要化简f（-x）．
f（-x）=-x(
1
2-x-1
+
1
2
)=-x（
2x
1-2x
+
1
2
）
=-x（
2x-1+1
1-2x
+
1
2
）
=x（
1
2x-1
+
1
2
）=f（x），
故f（x）是偶函数．
（2）证明：当x＞0时，2x＞1，2x-1＞0，
所以f（x）=x（
1
2x-1
+
1
2
）＞0．
当x＜0时，因为f（x）是偶函数
所以f（x）=f（-x）＞0．
综上所述，均有f（x）＞0．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范围；
（2）设F(x)=
h(x)
f(x)
，且b＜0，试判断函数F（x）的单调性；
（3）试证明：对?n∈N*，不等式ln(
1+n
n
)e＜
1+n
n
恒成立．
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若k=
1
3
，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间[
1
2
，a]上的值域为[
1
a
，1]，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）是奇函数：当x＞0时，f（x）=x（1-x）；则当x＜0时，f（x）=（　　）
已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）
已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，有（　　）
A、f（x）=-x（1+x）B、f（x）=-x（1-x）C、f（x）=x（1-x）D、f（x）=x（x-1）

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