Question

如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.若P为AC上的点，且满足。

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

Answer 1

（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意和是等边三角形，且为中点，所以垂直,再利用长度，可知满足勾股定理，所以垂直，根据线面垂直的判定定理，结论得证；（Ⅱ）根据知点为为靠近点的三等分点，所以三棱锥的底面是边长为的正三角形，高由（1）知为,所以三棱锥的体积为.

试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，

又边长为2，

由于，在中，

，

（Ⅱ）,

考点：1.线面垂直的判定定理；2.三棱锥的体积.