题目内容

设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．

(1)写出数列{an}的前三项

(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)．

答案：
解析：

　　解析：易得a1＝2，a2＝6，a3＝10．大胆猜测an＝4n－2(n∈N*)．推证如下：由＝得Sn＝(an＋2)2，因此Sn＋1＝(an+1＋2)2，所以an+1＝Sn+1－Sn＝[(an+1＋2)2－(an＋2)2]，整理得，(an+1＋an)(an+1－an－4)＝0，所以an+1－an＝4，即数列｛an｝是首项a1＝2，公差为4的等差数列，从而an＝4n－2．

　　点评：本题为归纳型探索题，也可利用数学归纳法来证明猜想an＝4n－2．


练习册系列答案
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设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
（1）写出数列{an}的前3项；
（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令bn=
1
2
(
an+1
an
+
an
an+1
)(n∈N)，求
lim
n→∞
(b1+b2+…+bn-n)．
设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正整数n，有4Sn=（an+1）2．
（I）求a1，a2的值；
（II）求数列{an}的通项公式；
（III）令b1=1，b2k=a2k-1+（-1）k，b2k+1=a2k+3k（k=1，2，3，…），求{bn}的前20项和T20．
设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的n∈N+，都有8Sn=（an+2）2．
（1）写出数列{an}的前3项；
（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）；
（3）设bn=
4
an•an+1
，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜
m
20
对所有n∈N+都成立的最小正整数m的值．
（2006•东城区二模）设{an}是正数组成的等比数列，a1+a2=1，a3+a4=4，则a4+a5=
8
8
．
设{an } 是正数组成的数列，其前n项和为Sn，，所有的正整数n，满足
an+2
2
=
2S n

（1）求a1、a2、a3；    
（2）猜想数列{an }的通项公式，并用数学归纳法证明．

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