Question

（本小题满分12分）

四棱锥,面⊥面.侧面是以为直角顶点的等腰直角三角形，底面为直角梯形，,∥，⊥,为上一点，且.

（Ⅰ）求证⊥；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先证⊥面，再证⊥面，进而得证；

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）面⊥面且交线为又⊥，

∴⊥面，

∴⊥，                                                           ……3分

∵⊥，，

∴⊥面，，                                          ……5分

∴⊥.                                                            ……6分

（Ⅱ）设为中点，则⊥，∴⊥面,

建系如图，则,

∴，,                                    ……8分

设为面的法向量,

则，∴为面的一个法向量,                  ……9分

为面的法向量,                                         ……10分

∴,                                           ……11分

∴二面角的正弦值为.                                      ……12分

考点：本小题主要满足空间中线线垂直的证明和二面角的求解.

点评：用定理证明立体几何问题时要紧扣定理，定理中要求的条件一个也不能漏；用空间向量求解二面角时，要仔细计算，还要注意题目中的二面角时锐角还是钝角.