Question

数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，其前n项和为S_n
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和为S_n；
（2）设log₂b_n=a_n-1，证明：

1

b2-b1

+

1

b3-b2

+…+

1

bn+1-bn

＜1．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项与求和公式，即可得到结论；
（2）确定bn+1-bn=2n，根据等比数列的求和公式，即可证明结论．

解答：（1）解：∵数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴a_n=n+1，Sn=

n(2+n+1)

2

=

n2

2

+

3n

2

；
（2）证明：∵log₂b_n=a_n-1
∴bn=2an-1=2n，
∴bn+1-bn=2n，
∴

1

b2-b1

+

1

b3-b2

+…+

1

bn+1-bn

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n＜1．

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．