Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{a}{cosA}=\frac{b+c}{cosB+cosC}$
（1）求角A的大小
（2）若a+b=4，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理整理可得：sin（A-B）=sin（C-A），结合三角形内角和定理即可求得A的值．
（2）结合已知由余弦定理可得：b²+9-3b=16+b²-8b，从而解得b，由三角形面积公式即可求值．

解答 解：（1）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且$\frac{a}{cosA}=\frac{b+c}{cosB+cosC}$，
由正弦定理可得：$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}$，整理可得：sin（A-B）=sin（C-A），
则：B+C=2A
又A+B+C=180°
得A=60°----------------（6分）
（2）∵a=4-b，c=3，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
即b²+9-3b=16+b²-8b，解得b=$\frac{7}{5}$，
∴bc=$\frac{21}{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{21}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{21\sqrt{3}}{20}$．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．