Question

已知函数f（x）=x^m-

2

x

且f（4）=

7

2

．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；
（3）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）满足f（4）=

7

2

，可得m的值；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明【方法一】用单调性定义证明，即取值，作差，判正负，下结论；
【方法二】求f（x）的导数f′（x），判定f′（x）＞0，得f（x）是增函数．
（3）由f（x）在（0，+∞）上是增函数，得f（x）在区间[2，5]上的最值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x^m-

2

x

，且f（4）=

7

2

；∴4^m-

2

4

=

7

2

，∴m=1，即m的值是1；
（2）f（x）在（0，+∞）上的是增函数，证明如下：
【方法一】任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁-

2

x1

）-（x₂-

2

x2

）=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

）；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0；∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
【方法二】∵f（x）=x-

2

x

，∴f′（x）=1+

2

x2

＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在区间[2，5]上也是增函数；
∴当x=2时，f（x）_min=f（2）=1，当 x=5时，f(x)max=f(5)=

23

5

．

点评：本题考查了函数解析式的求法以及函数的单调性判定与最值的计算，是基础题．