题目内容

在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，CA=
33
，若
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2，则
EF
与
BC
的夹角的余弦值等于
2
3
2
3
．
分析：由
BC
2=36求得 
AC
•
AB
=-1，再由
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2 求得
EF
•
BC
=4．再由两个向量的数量积的定义求得
EF
与
BC
的夹角的余弦值．
解答：解：由题意可得
BC
2=(
AC
-
AB
)2=
AC
2+
AB
2-2
AC
•
AB
=33+1-2
AC
•
AB
=36，∴
AC
•
AB
=-1．
由
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2 可得
AB
•(
AB
+
BE
)+
AC
•(
AB
+
BF
)=
AB
2+
AB
•
BE
+
AC
•
AB
+
AC
•
BF
=1-
AB
•
BF
+（-1）+
AC
•
BF
=
BF
•（
AC
-
AB
）=
1
2
EF
•
BC
=2，
故有
EF
•
BC
=4．
再由
EF
•
BC
=1×6×cos＜
EF
 ， 
BC
＞，可得 6×cos＜
EF
 ， 
BC
＞=4，∴cos＜
EF
 ， 
BC
＞=
2
3
，
故答案为
2
3
．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2011•徐州模拟）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2，则
EF
与
BC
的夹角等于
π
3
π
3
．
如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=2，CA=CB=3，若
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=7，则
EF
与
BC
的夹角的余弦值等于
1
3
1
3
．

在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若

，则与的夹角的余弦值等于              ；

 

如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，，若

，则与的夹角等于        ．

 

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