Question

已知圆C的圆心与椭圆

x2

25

+

y2

24

=1的右焦点关于直线y=x对称．直线4x-3y-2=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为

 

．

Answer 1

分析：由椭圆的方程找出a与b的值，根据椭圆的简单性质求出c的值，得到右焦点的坐标，求此点关于y=x对称点的坐标即为圆心C的坐标；然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，根据垂径定理及勾股定理，由弦长的一半及d的值，即可求出圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．

解答：解：由椭圆方程得到a²=25，b²=24，
根据椭圆的简单性质得：c²=a²-b²=25-24=1，解得c=1，
所以椭圆的右焦点坐标为（1，0），
又圆C的圆心与椭圆的右焦点关于直线y=x对称，
∴圆心C（0，1），
∴圆心C到直线4x-3y-2=0的距离d=

|-3-2|

5

=1，又|AB|=6，
∴圆C的半径r=

( |AB| 2 )2+d2

=

10

，
则圆C的方程为：x²+（y-1）²=10．
故答案为：x²+（y-1）²=10

点评：此题考查了椭圆的简单性质，与直线y=x对称点坐标的关系，以及垂径定理及勾股定理，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，会根据圆心和半径写出圆的标准方程．当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．