Question

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为

5

，圆C与椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)有一个公共点A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF₁与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF₁的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可设圆C的方程为（x-m）²+y²=5（m＜3），将点A的坐标代入圆C的方程，得（3-m）²+1=5．由此能求出圆C的方程．
（2）直线PF₁能与圆C相切，设直线PF₁的方程为y=k（x-4）+4，若直线PF₁与圆C相切，则k=

11

2

，或k=

1

2

．当k=

11

2

时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为

36

11

，不合题意，当k=

1

2

时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为-4，由此能求出椭圆E的方程．

解答：解：（1）由已知可设圆C的方程为（x-m）²+y²=5（m＜3）
将点A的坐标代入圆C的方程，得（3-m）²+1=5
即（3-m）²=4，解得m=1，或m=5
∵m＜3∴m=1
∴圆C的方程为（x-1）²+y²=5．（6分）
（2）直线PF₁能与圆C相切
依题意设直线PF₁的方程为y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0
若直线PF₁与圆C相切，则

|k-0-4k+4|

k2+1

=

5

∴4k²-24k+11=0，解得k=

11

2

，或k=

1

2

当k=

11

2

时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为

36

11

，不合题意，舍去
当k=

1

2

时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为-4，
∴c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0）
∴由椭圆的定义得：2a=|AF1|+|AF2|=

(3+4)2+12

+

(3-4)2+12

=5

2

+

2

=6

2

∴a=3

2

，即a²=18，∴b²=a²-c²=2
直线PF₁能与圆C相切，直线PF₁的方程为x-2y+4=0，椭圆E的方程为

x2

18

+

y2

2

=1．（14分）

点评：本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．