Question

在△ABC中，若acosA-bcosB=0，则三角形的形状是

1. A.
   等腰三角形
2. B.
   直角三角形
3. C.
   等腰直角三角形
4. D.
   等腰三角形或直角三角形

Answer 1

D
分析：解法1：把由余弦定理解出的余弦表达式代入已知的等式化简可得：（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），分①a²-b²=0和②a²-b²≠0两种情况讨论；
解法2：根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．
解答：法1：∵cosA=，cosB=，
∴•a=•b，
化简得：a²c²-a⁴=b²c²-b⁴，即（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），
①若a²-b²=0时，a=b，此时△ABC是等腰三角形；
②若a²-b²≠0，a²+b²=c²，此时△ABC是直角三角形，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；
法2：根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
故选D
点评：此题考查了三角形形状的判断，其中涉及的知识有：余弦定理，正弦定理，等腰、直角三角形的判定，以及二倍角的正弦函数公式，解法1利用了分类讨论的思想，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．