Question

以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，则它的表面积是原三棱锥表面积的（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  4

• C．

  1

  9

• D．

  1

  16

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，如图，利用三角形的重心性质得出

A′B′

EF

=

SA′

AF

=

2

3

，三角形中位线定理得出

EF

AB

=

1

2

，从而有

A′B′

AB

=

1

3

，进一步得出新三棱锥S'-A'B'C'和原三棱锥S-ABC相似，相似比为1：3．即可得出新三棱锥的表面积是原三棱锥表面积多少倍．

解答：解：如图，以三棱锥S-ABC各面重心为顶点，得到一个新三棱锥S'-A'B'C'，
则

A′B′

EF

=

SA′

AF

=

2

3

，

EF

AB

=

1

2

，
∴

A′B′

AB

=

1

3

，
同理，

A′C′

AC

=

1

3

，

B′C′

BC

=

1

3

，…
即新三棱锥S'-A'B'C'和原三棱锥S-ABC相似，相似比为1：3．
则新三棱锥的表面积是原三棱锥表面积的(

1

3

)2=

1

9

．
 故选C．

点评：本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，得出新三棱锥与原三棱锥的相似比，是解决本题的关键．