Question

已知sin（π-α）cos（-α-8π）=

60

169

，且α∈(

π

4

，

π

2

)，试求sinα与cosα的值．

Answer 1

分析：首先应用诱导公式进行整理，得到两个角的正弦与余弦之积，根据两个角的平方和得到两个数的差与和的平方的值，根据角的范围，分析和与差的正负，开方得到正弦与余弦的和与差，解出正弦与余弦值．

解答：解：由已知条件sin（π-α）cos（-α-8π）=

60

169

，
根据诱导公式得sinαcosα=

60

169

，
即2sinαcosα=

120

169

①
又∵sin²α+cos²α=1，②
∴①+②得，(sinα+cosα)2=

289

169

，
②-①得，(sinα-cosα)2=

49

169

，
又∵α∈(

π

4

，

π

2

)，
∴sinα＞cosα＞0，即sinα+cosα＞0，sinα-cosα＞0，
因此，sinα+cosα=

17

13

，③
sinα-cosα=

7

13

④
由③+④得：sinα=

12

13

；
③-④得：cosα=

5

13

．
即sinα与cosα的值分别是

12

13

，

5

13

点评：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，考查sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα之间的关系，本题是一个易错题，易错点是对于已知平方数的结果，开平方时结果的正负要根据角的范围弄清楚，本题是一个中档题目．