题目内容

讨论函数f（x）=ln（2x+3）+x²的单调性．

解：由题意可得： $\text{[math]}$ ．
所以当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0；
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0；
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0．
从而，f（x）分别在区间 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 单调增加，在区间 $\text{[math]}$ 单调减少．
分析：由题意可得： $\text{[math]}$ ．求出f'（x）＞0时x的范围；并且求出f'（x）＜0时x的范围；进而解决单调性问题．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握求导该生并且利用导数解决函数的单调区间问题．

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，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．
（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．
（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
（3）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的单调性．

（2012•朝阳区二模）设函数f(x)=alnx+

(a≠0)．
（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，求实数a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．

已知函数f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0

，g（x）=clnx+b，且x=

是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅰ）当b=-2时，求a的值，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当b∈R时，函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范围．
（Ⅲ）是否存在这样的直线l，同时满足：
①l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线
②l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=

m(x-1)2-2x+3+lnx．
（Ⅰ）设m∈R，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）设m＞0，曲线C：y=f（x）在点（1，1）处的切线l与C有且仅有一个公共点，求实数m的值．

已知函数f(x)=x3-

ax2+b，a，b为实数，x∈R，a∈R．
（1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（3）试讨论函数F（x）=（f′（x）-2x²+4ax+a+1）•e^x的极值点的个数．