Question

正△ABC边长等于

3

，点P在其外接圆上运动，则

AP

?

PB

的取值范围是（　　）

• A、[-

  3

  2

  ，

  3

  2

  ]
• B、[-

  3

  2

  ，

  1

  2

  ]
• C、[-

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• D、[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：利用正弦定理可得△ABC的外接圆的半径R，利用外接圆的性质和数量积运算、两角和差的余弦公式、余弦函数单调性即可得出．

解答：解：如图所示．
由正△ABC边长等于

3

，点P在其外接圆上运动．
∴∠AOB=120°，R=

1

2

3

sin60°

=1．
∴

AP

•

PB

=(

OP

-

OA

)•(

OB

-

OP

)
=

OP

•

OB

-

OP

2-

OA

•

OB

+

OA

•

OP

=cos∠POB-1-cos120°+cos∠AOP
=2cos∠AOBcos（∠AOP-∠POB）-

1

2

=-cos（∠AOP-∠POB）-

1

2

，
∵-1≤cos（∠AOP-∠POB）≤1，
∴

AP

•

PB

∈[-

3

2

，

1

2

]．
故选：B．

点评：本题考查了正弦定理、三角形的外接圆的性质、数量积运算、两角和差的余弦公式、余弦函数单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．