Question

（2013•天河区三模）已知函数f(x)=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x，x∈R
（I） 求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，b=2，△ABC的面积等于3，求边长a的值．

Answer 1

分析：（I） 函数f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可求出函数的最小正周期，根据正弦函数的单调递增区间即可得到函数的单调增区间；
（Ⅱ）由f（

A

2

+

π

3

）=

4

5

，A∈（0，π），得到cosA与sinA的值，再利用三角形的面积公式及已知面积与b、sinA的值，求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期为π；
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
则函数的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）∵f（

A

2

+

π

3

）=

4

5

，A∈（0，π），
∴cosA=

4

5

，sinA=

3

5

，
∵S=

1

2

bcsinA=3，b=2，sinA=

3

5

，
∴c=5，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=4+25-2×2×5×

4

5

=13，
∴a=

13

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，正弦函数的单调性，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．