题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁，F₂．P是椭圆上一点，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若0°＜∠PF₁F₂＜60°则该椭圆的离心率的取值范围是________．

（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
分析：由题意可得 PF₂=F₁F₂=2c，再由椭圆的定义可得 PF₁=2a-2c．设∠PF₂F₁=θ，则 $\text{[math]}$ ＜θ＜π，故-1＜cosθ＜ $\text{[math]}$ ，再由cosθ= $\text{[math]}$ ，求得e的范围．
解答：由题意可得 PF₂=F₁F₂=2c，再由椭圆的定义可得 PF₁=2a-PF₂=2a-2c．
设∠PF₂F₁=θ，则 $\text{[math]}$ ＜θ＜π，∴-1＜cosθ＜ $\text{[math]}$ ．
△PF₁F₂中，由余弦定理可得 cosθ= $\text{[math]}$ ，由-1＜cosθ 可得 3e²+2e-1＞0，e＞ $\text{[math]}$ ．
由cosθ＜ $\text{[math]}$ 可得 2ac＜a²，e= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．综上， $\text{[math]}$ ＜e＜ $\text{[math]}$ ，
故答案为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到cosθ= $\text{[math]}$ ，且-1＜cosθ＜ $\text{[math]}$ ，是解题的关键．

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已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的离心率为

且经过点P(1，

)．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

已知椭圆的左、右焦点分别为，其右准线上上存在点（点在轴上方），使为等腰三角形．

⑴求离心率的范围；

⑵若椭圆上的点

的距离之和为

的内切圆的方程．

已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．

（本题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中

F₂也是抛物线的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且

（I）求椭圆C₁的方程；（II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。

（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点的直线与该椭圆交于M、N两点，且，求直线的方程．