Question

已知在(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展开式中，第5项为常数项．
（1）求n；
（2）求展开式中含x²的项．

Answer 1

分析：（1）先求出 (

3	x

-

1

2 3 x

)n的展开式的通项公式为T_r+1=(-

1

2

)r

•C

r n

•x

n-2r

3

，再令r=4，可得第5项，再由第5项为常数项求得n的值．
（2）由（1）可得展开式的通项公式中，令x的幂指数

8-2r

3

=2，解得r=1，从而求得展开式中含x²的项．

解答：解：（1）由于 (

3	x

-

1

2 3 x

)n的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

•x

n-r

3

•(-

1

2

)r•x

-r

3

=(-

1

2

)r

•C

r n

•x

n-2r

3

，
故第5项为 T₄₊₁=(-

1

2

)4

•C

4 n

•x

n-8

3

．
由于第5项为常数项，∴

n-8

3

=0，解得 n=8．
（2）由（1）可得展开式的通项公式为T_r+1=(-

1

2

)r

•C

r 8

•x

8-2r

3

，令

8-2r

3

=2，解得r=1，
故展开式中含x²的项为 (-

1

2

)1

•C

1 8

•x²=-4x²．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．