题目内容
已知函数f（x）=
且f（1）=2，
（1）判断并证明f（x）在定义域上的奇偶性．
（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性．
| x2+a | x |
（1）判断并证明f（x）在定义域上的奇偶性．
（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性．
分析：（1）依题意，可求得a=1，利用奇偶函数的定义即可判断f（x）在定义域上的奇偶性；
（2）设1＜x1＜x2，作差f（x1）-f（x2），判断即可．
（2）设1＜x1＜x2，作差f（x1）-f（x2），判断即可．
解答：解：（1）∵f（x）=
，f（1）=2，
∴a=1
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
又∵f（-x）=-x+
=-（x+
）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域上是奇函数．
（2）设1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）
=（x1-x2）+（
-
）
=（x1-x2）（1-
）
=（x1-x2）（
），
∵1＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在（1，+∞）是单调递增函数．
| x2+a |
| x |
∴a=1
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
又∵f（-x）=-x+
| 1 |
| -x |
| 1 |
| x |
∴函数f（x）在定义域上是奇函数．
（2）设1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=（x1-x2）+（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=（x1-x2）（1-
| 1 |
| x1x2 |
=（x1-x2）（
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∵1＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在（1，+∞）是单调递增函数．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的判断与证明，考查分析与推理能力，属于中档题．
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| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
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