Question

角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边在第三象限过点P，且tanα=-

3

4

；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边在第二象限经过点Q，且tanβ=-2，则cos∠POQ的值为（　　）

• A．

  5

  5

• B．-

  5

  5

• C．

  11 5

  25

• D．-

  11 5

  25

Answer 1

分析：由题意可得在[0，2π]上，α、β都为钝角，且∠POQ=α+

π

2

-β，0＜α-β＜

π

2

．利用两角差的正切公式求得tan（α-β），可得sin（α-β）的值，再由cos∠POQ=-sin（α-β） 运算求得结果．

解答：解：由题意可得在[0，2π]上，α、β都为钝角，α＞β，且∠POQ=α+

π

2

-β，∴0＜α-β＜

π

2

．
∵tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

- 3 4 +2

1+(- 3 4 )(-2)

=

1

2

=

sin(α-β)

cos(α-β)

，
 再由 cos²（α-β）+sin²（α-β）=1，求得cos（α-β）=

2 5

5

，sin（α-β）=

5

5

，
故 cos∠POQ=cos（α+

π

2

-β ）=-sin（α-β）=-

5

5

，
故选B．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，同角三角函数的基本关系，突出三角函数的综合应用，属于中档题．