题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ cos²x+sinxcosx- $数学公式$ ，x∈R．
（I）设角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的负半轴上，终边过点P（ $数学公式$ ，- $数学公式$ ），求f（a）的值；
（II）试讨论函数f（x）的基本性质（直接写出结论）．

解：解法一：（I）因为点P（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）在α终边上，
所以sin $\text{[math]}$ ，cos $\text{[math]}$
f（α）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（II）f（x）= $\text{[math]}$ cos²x+sinxcosx- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
函数的基本性质如下：①函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
②函数f（x）单调增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，k $\text{[math]}$ ]，单调减区间为：[k $\text{[math]}$ ]（k∈Z）；
③函数的最大值我1，最小值为-1；
④函数的周期为：π
解法二：f（x）= $\text{[math]}$ cos²x+sinxcosx- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
（I）因为点P（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）在α终边上，
所以 $\text{[math]}$
所以f（α）=sin[2（2kπ- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]=sin（4kπ- $\text{[math]}$ ）=sin（- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$
（II）同解法一；
分析：解法一：（I）利用点P（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）在α终边上，求出sinα，cosα，然后求出f（α）．
（II）化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后找出：奇偶性，单调性，最值，周期；
解法二：化简函数f（x）的表达式为一个角的一个三角函数的形式，
（I）点P（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）在α终边上，求出 $\text{[math]}$ 解出f（α）即可．
（II）同解法一；
点评：本题考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图象与性质等知识，考查运算求解能力，转化与化归思想等．