Question

设f^-1（x）是函数f（x）=

1

2

（a^x-a^-x）（a＞1）的反函数，则使f^-1（x）＞1成立的x的取值范围为（　　）

• A、（

  a2-1

  2a

  ，+∞）
• B、（-∞，

  a2-1

  2a

  ）
• C、（

  a2-1

  2a

  ，a）
• D、[a，+∞）

Answer 1

分析：本题考查反函数的概念、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点，有一定的综合性；
首先由函数f（x）=

1

2

（a^x-a^-x）（a＞1）求其反函数，要用到解指数方程，整体换元的思想，将a^x看作整体解出，然后由f^-1（x）＞1构建不等式解出即可．

解答：解：由题意设y=

1

2

（a^x-a^-x）整理化简得a^2x-2ya^x-1=0，
解得：ax=y± 

y2+1

∵a^x＞0，∴ax=y+

y2+1

，
∴x=log_a（y+

y2+1

）
∴f^-1（x）=log_a（x+

x2+1

）
由使f^-1（x）＞1得log_a（x+

x2+1

）＞1
∵a＞1，∴x+

x2+1

＞a
由此解得：x＞

a2-1

2a

故选A

点评：本题虽为小题，看似简单，实际上综合性强，用到多方面的知识和方法，更需要一定的运算能力；
尤其在求x时难度大些，不仅要用换元思想把a^x看作整体求解，还要根据范围舍去ax=y-

y2+1