题目内容
（2012•东城区二模）某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为
，
；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为
，
；两人租车时间都不会超过三小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．
分析：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．
（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．
解答：解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元．…（2分）
都付2元的概率为P1=
×
=
；
都付4元的概率为P2=
×
=
；
都付6元的概率为P3=
×
=
；
故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=
．…（6分）
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12．…（8分）
P（ξ=4）=
；P（ξ=6）=
×
+
×
=
；
P（ξ=8）=
×
+
×
+
×
=
；P（ξ=10）=
×
+
×
=
；
P（ξ=12）=
×
=
．
故ξ的分布列为
…（11分）
所求数学期望Eξ=4×
+6×
+8×
+10×
+12×
=
．…（13分）
都付2元的概率为P1=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
都付4元的概率为P2=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
都付6元的概率为P3=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 16 |
故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=
| 5 |
| 16 |
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12．…（8分）
P（ξ=4）=
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 16 |
P（ξ=8）=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 16 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 16 |
P（ξ=12）=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 16 |
故ξ的分布列为
| ξ | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
所求数学期望Eξ=4×
| 1 |
| 8 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
| 16 |
| 3 |
| 16 |
| 1 |
| 16 |
| 15 |
| 2 |
点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
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