Question

设等比数列{a_n}的公比q≠1，S_n表示数列{a_n}的前n项的和，T_n表示数列{a_n}的前n项的乘积，T_n（k）表示{a_n}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即T_n（k）=

Tn

ak

（n，k∈N^*，k≤n），则当a₁=1，q=2，数列{

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

}的前n项的和是

2ⁿ-1

．

Answer 1

分析：令b_n=

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

，依题意，可求得b_n=2^n-1，利用等比数列的求和公式即可求得数列{

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

}的前n项的和．

解答：解：令b_n=

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

，
则b_n=

SnTn

Tn a1 + Tn a2 +…+ Tn an

=

Sn

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

，
∵等比数列{a_n}的公比q=2，首项a₁=1，
∴数列{a_n}的前n项的和S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1；
又数列{

1

an

}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

2(2n-1)

2n

，
∴b_n=

Sn

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

=2^n-1．
∵

bn+1

bn

=

2n

2n-1

=2，b₁=1，
∴{b_n}是1为首项，2为公比的等比数列（即b_n=a_n），
∴b₁+b₂+…+b_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
故答案为：2ⁿ-1．

点评：本题考查数列的求和，求得b_n=2^n-1是关键，也是难点，考查分析与化简、运算的能力，属于中档题．