Question

设平面内两定点F₁（-，0），F₂（，0），直线PF₁和PF₂相交于点P，且它们的斜率之积为定值-．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂：y=x²上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交曲线C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点P（x，y），依题意则有，由此能求出动点P的轨迹C₁的方程．
（2）设N（t，t²），则PQ的方程为：y-t²=2t（x-t），联立方程组，利用根的判别式和韦达定理，结合题设条件能求出△MPQ面积的最大值．
解答：解：（1）设点P（x，y），
依题意则有，
整理得动点P的轨迹C₁的方程：，（x）．…（4分）
（2）设N（t，t²），则PQ的方程为：y-t²=2t（x-t），
∴y=2tx-t²，联立方程组，
消去y整理得：，有，…（8分）
而|PQ|=
=，
，…（11分）
由代入化简得：
即=，
当且仅当t²=10时，取到最大值．…（13分）
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式、韦达定理和点到直线的距离公式的灵活运用．