题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上项点为B1，右、右焦点为F1、F2，△B1F1F2是面积为
3
的等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知P（x0，y0）是以线段F1F2为直径的圆上一点，且x0＞0，y0＞0，求过P点与该圆相切的直线l的方程；
（III）若直线l与椭圆交于A、B两点，设△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H，请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗？若在请说明理由．
（I）∵
1
2
b•2c=
3
，a=2c，a2=b2+c2．
解得c2=1，b2=3，a2=4，
∴椭圆C的方程为：
x2
4
+
y2
3
=1
（Ⅱ）∵F1F2是圆的一条直径，∴圆的方程为x2+y2=1，
又P（x0，y0）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，
∴kl•
y0
x0
=-1，解得kl=-
x0
y0
．
∴切线方程为y-y0=-
x0
y0
(x-x0)，又
x20
+
y20
=1，
化为l：x0x+y0y-1=0．
∴切线方程为l：x0x+y0y-1=0．
（III）设A（x1，y1），B（x2，y2），则G(
x1
3
，
y1
3
)，H(
x2
3
，
y2
3
)．
若原点O在以线段GH为直径的圆内，则
OH
•
OG
＜0，即
x1x2
9
+
y1y2
9
＜0，即x1x2+y1y2＜0，
下面给出证明：联立
x0x+y0y-1=0
x2
4
+
y2
3
=1
，
消去x整理为(4
x20
+3
y20
)y2-6y0y+3-12
x20
=0，
∴y1+y2=
6y0
4
x20
+3
y20
，y1y2=
3-12
x20
4
x20
+3
y20
，
∴x1x2=
1-y0y1
x0
•
1-y0y2
x0
=
1-y0(y1+y2)+
y20
y1y2
x20
=
4-12
y20
4
x20
+3
y20
，
∴x1x2+y1y2=
7-12(
x20
+
y20
)
4
x20
+3
y20
=-
5
x20
+3
＜0．
∴原点O在以线段GH为直径的圆内．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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