Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：x2+y2+

3

x-3y-6=0过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=

2π

3

时，证明：点P在一定圆上．

Answer 1

分析：（1）求出圆C与x轴交点坐标，即可确定椭圆E的方程；
（2）求出直线PF₂、PF₁的斜率，利用β-α=

2π

3

，结合两角差的正切公式，即可证得结论．

解答：（1）解：圆x2+y2+

3

x-3y-6=0与x轴交点坐标为A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，
故a=2

3

，c=

3

，所以b=3，∴椭圆方程是：

x2

12

+

y2

9

=1．
（2）证明：设点P（x，y），因为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
设点P（x，y），则kPF1=tanβ=

y

x+ 3

，kPF2=tanα=

y

x- 3

，
因为β-α=

2π

3

，所以tan（β-α）=-

3

．
因为tan（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

-2 3 y

x2+y2-3

，
所以

-2 3 y

x2+y2-3

=-

3

，化简得x²+y²-2y=3．
所以点P在定圆x²+y²-2y=3上．

点评：本题考查椭圆的方程，考查两角差的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．