Question

已知数列{a_n}满足，且a₂=6．
（1）设，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设，c为非零常数，若数列{u_n}是等差数列，记，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，可将化成，然后利用叠加法可求出数列{b_n}的通项公式；
（2）根据等差数列是关于n的一次函数，而c为非零常数，可求出c的值，从而求出{c_n}的通项，最后利用错位相消法可求出S_n．
解答：解：（1）∵，
∴（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-（n+1）
当n≥2时，
而
∴b_n+1-b_n=-（n≥2）
∵a₂=6∴b₂===3
∵b₃-b₂=-1
b₄-b₃=-
…
b_n-b_n-1=（n≥3）
将这些式子相加得b_n-b₂=
∴b_n=（n≥3）
b₂=3也满足上式，b₁=3不满上式
∴
（2），令n=1得a₁=1
∵
∴a_n=2n²-n（n≥2）
而a₁=1也满足上式
∴a_n=2n²-n
∵，数列{u_n}是等差数列
∴是关于n的一次函数，而c为非零常数
∴c=-，u_n=2n
∴=，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=2×+4×+…+2n×
S_n=2×+4×+…+2n×
两式作差得S_n=2×+2×+…+2×-2×
∴
点评：本题主要考查数列的通项公式，以及数列的递推关系和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，是一道综合题．