Question

已知关于x的函数f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）．
（1）求函数|f（x）|的单调区间；
（2）对于一切a∈[0，1]，若存在实数m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

与|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同时成立，求b-a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）=（x+a）²+a²-b开口向上，但a²-b的正负不定，所以在取绝对值时要分类讨论．在每一种情况下分别求|f（x）|的单调区间．
（2）存在实数m，使得 |f(m)|≤

1

4

与|f(m+1)|≤

1

4

同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于

1

4

的两变量之间间隔不超过1，故须对a²-b和 -

1

4

，

1

4

的大小分情况讨论，求出a²-b的取值范围，进而求得b-a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²+a²-b
∴①当a²-b≥0时，单调区间为：（-∞，-a]上为减，[-a，+∞）上为增；（2分）
②当a²-b＜0时，单调区间为：(-∞，-a-

-a2+b

)减，
(-a-

-a2+b

，-a)增，(-a，-a+

-a2+b

)减，(-a+

-a2+b

，+∞)增（5分）
（2）①当 -

1

4

≤a2-b≤0时，由方程 x2+2ax+b=

1

4

，解得 x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

，
此时 |x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

≤1，此时不满足存在实数m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

与|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同时成立．（8分）
②当

1

4

＞a2-b＞0时，由方程 x2+2ax+b=

1

4

，解得 x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

此时 |x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

∈(1，

2

)，满足存在实数m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

与|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同时成立．（11分），此时有a2＞b＞a2-

1

4

，故a2-a＞b-a＞a2-a-

1

4

对一切a∈[0，1]都成立，由此解得b-a∈[-

1

2

，-

1

4

]
③当 a2-b≥

1

4

时，对一切a∈[0，1]，都不存在实数m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

与|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同时成立．
综上得b-a∈[-

1

2

，-

1

4

]（16分）

点评：点评：本题考查了数学上的分类讨论思想．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．