Question

设f（x）=ax²+8x+3（a∈R）．
（1）若g（x）=x•f（x），f（x）与g（x）在x同一个值时都取极值，求a；
（2）对于给定的负数a，当a≤-8时有一个最大的正数M（a），使得x∈[0，M（a）]时，恒有|f（x）|≤5．
（i）求M（a）的表达式；
（ii）求M（a）的最大值及相应的a的值．

Answer 1

分析：（1）先求得f（x）在x=-

4

a

时取得极值．由于f（x）与g（x）在x同一个值时都取极值，故由g'（x）=3ax²+16x+3知
g/(-

4

a

)=0，从而渴求的故a=

16

3

．
（2）（i）先求得f(x)max=3-

16

a

．再分类讨论：当3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0时，此时不满足条件；当3-

16

a

≤5，即a≤-8时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，而M（a）要最大，只能是ax²+8x+3=-5的较大根，故可求；
（ii）由 M(a)=

-2 4-2a -4

a

=

4

4-2a -2

由于a≤-8，故可求

解答：解：（1）易知a≠0，f（x）在x=-

4

a

时取得极值．
由g（x）=ax³+8x²+3x得g'（x）=3ax²+16x+3
由题意得：3a•(-

4

a

)2+16•(-

4

a

)+3=0．故a=

16

3

．
经检验a=

16

3

时满足题意．
（2）（i）因a＜0， f(x)=a(x+

4

a

)2+3-

16

a

．∴f(x)max=3-

16

a

．
情形一：当3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0时，此时不满足条件．
情形二：当3-

16

a

≤5，即a≤-8时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
而M（a）要最大，只能是ax²+8x+3=-5的较大根，则M(a)=

-2 4-2a -4

a

．
∴M(a)=

-2 4-2a -4

a

（ii） M(a)=

-2 4-2a -4

a

=

4

4-2a -2

≤

5 +1

2

，
∴当a=-8时，M(a)max=

5 +1

2

．

点评：本题以函数为载体，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力．