Question

已知抛物线C：y²=4x与直线y=2x-4交于A，B两点．
（1）求弦AB的长度；
（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用弦长公式即可求得弦AB的长度；
（2）设点P(

yo2

4

，yo)，利用点到直线的距离公式可表示出点P到AB的距离d，S_△PAB=

1

2

•3

5

•d=12，解出即可；

解答：解：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=2x-4 y2=4x

得x²-5x+4=0，△＞0．
由韦达定理有x₁+x₂=5，x₁x₂=4，
∴|AB|=

1+22

|x1-x2|=

1+22

•

(x1+x2)2-4x1x2=

5

•

25-16

=3

5

，
所以弦AB的长度为3

5

．
（2）设点P(

yo2

4

，yo)，设点P到AB的距离为d，则d=

| yo2 2 -yo-4|

5

，
∴S_△PAB=

1

2

•3

5

•

| yo2 2 -yo-4|

5

=12，即|

yo2

2

-yo-4|=8．
∴

yo2

2

-yo-4=±8，解得y_o=6或y_o=-4
∴P点为（9，6）或（4，-4）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属中档题．