Question

如图在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若

AB

=m

AM，

AC

=n

AN

，则mn的最大值为（　　）

A． 1 2

B．1

C．2

D．3

Answer 1

以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，
则O点坐标为（1，1），B（0，2）、C（2，0），
∵

AB

=m

AM，

AC

=n

AN

，
∴

AM

=

AB

m

，

AN

=

AC

n

，
∴M(0，

2

m

)、N(

2

n

，0)，
∴直线MN的方程为

nx

2

+

my

2

=1，
∵直线MN过点O（1，1），
∴

m

2

+

n

2

=1，即m+n=2
∵m+n≥2

mn

（m＞0，n＞0），
∴mn≤

(m+n)2

4

=1，
∴当且仅当m=n=1时取等号，且mn的最大值为1．
故选B．