Question

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b）．
（Ⅰ）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，

f(x)

x

+1≥0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据条件写出函数和导函数，即在x=2处取得极小值．函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，写出关于t的不等式，解出结果．
（II）写出要用的函数式，根据条件中的恒成立问题，得到x²-bx+1≥0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，看出函数的单调性，根据最值之间的关系写出结果．

解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=3时，f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）=0得x=0，2，根据导数的符号可以得出函数f（x）在x=0处取得极大值，
在x=2处取得极小值．函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，
则只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．
所以t的取值范围是（-1，0）．                                   
（Ⅱ）当a=0时，

f(x)

x

+1≥0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，
即x²-bx+1≥0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，
也即b≤x+

1

x

在对任意的x∈[2，+∞）恒成立．    
令g(x)=x+

1

x

，则g′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

＞0，x∈[2， +∞)．
则函数g(x)=x+

1

x

在x∈[2，+∞）上单调递增，
当x=2时取最小值g(2)=

5

2

，故只要b≤

5

2

即可．
所以b的取值范围是(-∞，

5

2

]．

点评：本题看出函数的极值的应用和函数的恒成立问题，解题的关键是对于恒成立问题的理解，用函数的最值思想解决恒成立问题是常见的一种形式．