Question

已知各项均不为0的数列{a_n}满足：a1=2，an+1=

2(n+2)

n+1

an，n∈N*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

an+1

n+2

=2•

an

n+1

，结合等比数列的通项公式可求

an

n+1

，进而可求a_n
（2）由题意可得，S_n=2•2⁰+3•2¹+4•2²+…+（n+1）•2^n-1，利用错位相减可求

解答：解：（1）∵a1=2，an+1=

2(n+2)

n+1

an，n∈N*
∴

an+1

n+2

=2•

an

n+1

∴数列{

an

n+1

}是以2为公比以

a1

2

=1为首项的等比数列
∴

an

n+1

=2n-1
∴an=(n+1)•2n-1
（2）∴S_n=2•2⁰+3•2¹+4•2²+…+（n+1）•2^n-1
   2S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ
两式相减可得，-S_n=2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ
=2+

2(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n
=2+2ⁿ-2-（n+1）•2ⁿ
=-n•2ⁿ
∴Sn=n•2n

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，错位相减求和方法的应用是数列求和的重点与难点．