题目内容

过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线
x2
b2
+
y2
a2
=1上，则双曲线的离心率为
 
．
分析：先根据题意把渐近线方程与过焦点的垂线方程联立求得交点的坐标，代入抛物线方程求得a和c的关系，则离心率可得．
解答：解：依题意知双曲线一渐近线为y=
b
a
x，则过焦点的垂线方程为y=-
a
b
（x-c）
联立解得x=
a2
c
，y=
ab
c
，
代入椭圆方程得
a4
c2
b2
+
a2b2
a2
=1
整理求得e=
2
，
故答案为
2
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．解题的关键是求得两直线的交点，进而代入椭圆方程．
练习册系列答案
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过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM=ME，则该双曲线的离心率为（　　）
A、3
B、2
C、
3
D、
2
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是
 
．
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的左焦点F作⊙O：x2+y2=a2的两条切线，记切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB=120°，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A、y=±
3
x
B、y=±
3
3
x
C、y=±
2
x
D、y=±
2
2
x
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐进线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若
FM
=2
ME
，则该双曲线离心率为（　　）
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的平行线，该平行线与y轴交于点P，若|OP|=|OF|，则双曲线的离心率为（　　）

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