Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3)证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算和的值，点斜式求出切线方程即可.

（Ⅱ）设，并求导.将问题转化为在区间上，恒成立，或者恒成立，通过特殊值，且，确定恒成立，通过参数分离，求得实数的取值范围；

(Ⅲ）设，将问题转化为证明，利用函数的导数确定函数最小值在区间，并证明. 即的图象在图象的下方.

详解：解：（Ⅰ）求导，得，

又因为

所以曲线在点处的切线方程为

（Ⅱ）设函数，

求导，得，

因为函数在区间上为单调函数，

所以在区间上，恒成立，或者恒成立，

又因为，且，

所以在区间，只能是恒成立，即恒成立.

又因为函数在在区间上单调递减，，

所以.

(Ⅲ）证明：设.

求导，得.

设，则（其中）.

所以当时，（即）为增函数.

又因为，

所以，存在唯一的，使得

且与在区间上的情况如下：

	-	0	+
	↘		↗

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以 .

又因为，，

所以，

所以，即的图象在图象的下方.