Question

【题目】（1）若整数满足关系式，证明：．

（2）试写出不定方程的一组正整数解，并对此解验证．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）因为，所以，只需证，且．

先证：．

注意到，不被3整除的整数的平方被3除余1，被3整除的整数的平方仍被3整除．从而，被3除余2的整数一定不是平方数．

如果都不被3整除，则被3除余2．

考虑．若，则被3除余1；若被3除余1，则被3整除．此时不能成立．

如果都为3的倍数，显然，为9的倍数，更有．

如果只有一个为3的倍数，则被3除余1．

因此，．所以，．

再证：．

由为偶数，知的奇偶性相同．

若同为奇数，则，即．进而，，与是平方数矛盾．

若同为偶数，则，即．进而，．此时，为奇数．

因此，．

从而，即．

而同余式当且仅当同为4的倍数．因此，．

因为，所以，．

（2）例子：当时，．

而，即．