Question

（2012•道里区三模）在平面直角坐标系中，已知A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，-2)，若实数λ使得λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

（O为坐标原点）．
（Ⅰ） 求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；
（Ⅱ） 当λ=

2

2

时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中P点的轨迹交于不同的两点E，F（E在B，F之间），且[

S△OBE

S△EOF

＞1．若存在，求出该直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由题设条件，知（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．
（Ⅱ）由λ=

2

2

，知P点轨迹方程为

x2

2

+y2=1．S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|，由

S△OBE

S△EOF

＞1，得

1

2

＜

|x1|

|x2|

＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，-2)，
实数λ使得λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

（O为坐标原点）．
∴（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），
①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，
②λ=0时方程为x²+y²=2轨迹为圆，
③λ∈（-1，0）∪（0，1）时方程为

x2

2

+

y2

2(1-λ2)

=1轨迹为椭圆，
④λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时方程为

x2

2

-

y2

2(λ2-1)

=1轨迹为双曲线．…（6分）
（Ⅱ）∵λ=

2

2

，∴P点轨迹方程为

x2

2

+y2=1．
S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|
由

S△OBE

S△EOF

＞1，得

S△OBE

S△OBF-S△OBE

＞1，
则

|x1|

|x2|-|x1|

＞1，∴

1

2

＜

|x1|

|x2|

＜1．
设直线EF直线方程为y=kx+2，
联立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，
∵△=64k²-24（1+2k²）＞0，∴k2＞

3

2

，
∵x₁，x₂同号，∴

|x1|

|x2|

=

x1

x2

x1+x2=-

8k

1+2k2

，x1x2=

6

1+2k2

，…（8分）
设

x1

x2

=m，则

(x1+x2)2

x1x2

=

(m+1)2

m

=

32k2

3+6k2

∈(4，

9

2

)

3

2

＜k2＜

27

10

，k∈(

6

2

，

3 30

10

)∪(-

3 30

10

，-

6

2

)．…（12分）

点评：本题考查曲线类型的判断，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．