Question

一个四棱锥S-ABCD的底面是边长为a的正方形，且SA=a，SB=SD=

2

a．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）若SC为四棱锥中最长的侧棱，点E为AB的中点．求直线SE与平面SAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱锥S-ABCD的底面是边长为a的正方形，且SA=a，SB=SD=

2

a，勾股定理可得SA⊥AB，SA⊥AD，由线面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；
（2）作EF⊥AC交于 F，连接SF，结合（1）中SA⊥平面ABCD，可得EF⊥SA，进而由线面垂直的判定定理得EF⊥平面SAC，则∠ESF是直线SE与平面SAC所成角．解Rt△ESF即可得到直线SE与平面SAC所成角的正弦值

解答：证明：（1）∵SA=a，SB=SD=

2

a．
又∵四棱锥S-ABCD的底面是边长为a的正方形，
由勾股定理可得SA⊥AB，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A
∴SA⊥平面ABCD；          …．（6分）
解：（2）作EF⊥AC交于 F，连接SF，

∵EF?平面ABCD，SA⊥平面ABCD
∴EF⊥SA，
又∵SA∩AC=A
∴EF⊥平面SAC（ 8分）
∴∠ESF是直线SE与平面SAC所成角．
在Rt△ESF中
EF=

1

4

BD=

2

4

a，SE=

5

2

a（10分）
∴sin∠ESF=

EF

SE

=

10

10

…．（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的解，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是根据勾股定理证得SA⊥AB，SA⊥AD，（2）的关键是构造出∠ESF是直线SE与平面SAC所成角．