题目内容
（本小题满分12分）在
中，顶点
，
，
、
分别是的重心和内心，且
．
求顶点
的轨迹
的方程；
过点
的直线交曲线
于
、
两点，
是直线
上一点，设直线
、
、
的斜率分别为
，
，
，求证：
．
(1) 
； (2) 详见解析
【解析】
试题分析：(1) 根据题中三角形内心的含义可知：
，又由条件：
，可见I和G的纵坐标相等，又
,
，代入化简得：
，根据椭圆的定义得：顶点
的轨迹是以
为焦点，4为长轴长的椭圆，其中
进而其方程，不过要注意去掉顶点噢； (2) 根据题意可设出直线方程，进而表示出点
的坐标，不过要注意分斜率是否存在：当直线
斜率存在时，设直线
且
，
，
，与椭圆联立方程组，运用韦达定理可得
，
.由题意：
，
，
.化简得
.当直线斜率不存在时，易得结论.
试题解析：(1) 已知，且,，
其中
为内切圆半径，化简得：，顶点的轨迹是以为焦点，
4为长轴长的椭圆（去掉长轴端点），其中
进而其方程为. (5分)
(2) 证明：当直线斜率存在时，设直线且，，
联立
可得，. (8分)
由题意：，，.
当直线斜率不存在时，
，
综上可得
. (12分)
考点：1.轨迹方程的求法；2.椭圆方程的求法；3.直线与圆锥曲线的位置关系
练习册系列答案
高中必刷题系列答案
相关题目
的离心率为2，则其渐近线的斜率为（ ）
B．
C．
D．
与双曲线
相交于
两点，则
=（ ）
4 B．
C．
D．
，则
（ ） 
B．
C．
D．
，
，则
（ ）
B．
C．
D．
的三条侧棱
，
，
两两互相垂直且长都相等，其外接球半径为
，则三棱锥的表面积为 ．
、
、
、
，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）
B．
C．
D．
的外接球半径为
，过棱
作该球的截面，则截面面积的最小值为 ．
，函数
，则方程
实数根的个数是（ ）.
个 （B）
个 （C） 
个 （D）
个