Question

在平面直角坐标系中，已知A（1，-3），B（4，-1），P（a，0），N（a+1，0），若四边形PABN的周长最小，则a=______．

Answer 1

四边形PABN的周长c=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=

(a-1)2+9

+

13

+

(a-3)2+1

+1，只需求出

(a-1)2+9

+

(a-3)2+1

的最小值时的a值．
由于

(a-1)2+9

+

(a-3)2+1

=

(a-1)2+(0-3)2

+

(a-3)2+(0-1)2

，表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可，
利用对称的思想，该距离的最小值为（1，-3）与（3，1）间的距离，
取得最小的a值为（1，-3）与（3，1）确定的直线与x轴交点的横坐标，
求出过（1，-3）与（3，1）的直线方程为y=2x-5，
令y=0，得出所求的a值为

5

2

．
故答案为：

5

2

．