题目内容

在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a=2， $数学公式$ ，设∠C=θ．
（1）θ表示b；
（2）若 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值．

（1）在△ABC中，a=2，∠A= $\text{[math]}$ ，∠B=π-∠C=π- $\text{[math]}$ -θ

由正弦定得 $\text{[math]}$ ，b=2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ -θ ）

（2）△ABC中，再由正弦定得 $\text{[math]}$ ，c=2 $\text{[math]}$ sinθ．
故有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =8 $\text{[math]}$

因为tanθ=- $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ＜θ＜π，所以 sinθ= $\text{[math]}$ ，cosθ= $\text{[math]}$
又 sin（ $\text{[math]}$ -θ ）=sin $\text{[math]}$ cosθ-cos $\text{[math]}$ sinθ= $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ =8× $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$

分析：（1）在△ABC中，先求出∠B=π-∠C=π- $\text{[math]}$ -θ，由正弦定 $\text{[math]}$ 求出b．
（2）△ABC中，再由正弦定 $\text{[math]}$ 求出 c，根据两个向量的数量积的定义求出 $\text{[math]}$ =8 $\text{[math]}$ ，再由tanθ=- $\text{[math]}$ ，求出sinθ 和 cosθ 的值，可得
sin（ $\text{[math]}$ -θ ）的值，从而求得 8 $\text{[math]}$ 的值，即为所求．
点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式的应用，两个向量的数量积的定义，求出sin（ $\text{[math]}$ -θ ）= $\text{[math]}$ ，是解题的关键．