Question

设p：关于x的函数f（x）=x²+2ax+3在（-1，+∞）上为增函数；q：不等式-2^x≤a对一切正实数x恒成立．
（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；
（2）“p或q”为真命题，“p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意求出命题p、q为真时a的范围分别为a≥0、a≥1．由p∨q为真，p∧q为假得：p真q假或p假q真，进而求出答案即可．

解答：解：（1）当q为真命题时，由2^x＞0，得-2^x＜0，不等式-2^x≤a对一切正实数x恒成立⇒a≥0，
∴实数a的取值范围是[0，+∞）；
（2）∵函数f（x）=x²+2ax+3在（-1，+∞）上为增函数，∴-a≤-1⇒a≥1，
∴命题p为真命题时，a≥1，
由“p或q”为真命题，“p且q为假命题，得p、q一真一假．
①当p真q假时，则

a≥0 a＜1

⇒0≤a＜1，
②当p假q真时，则

a＜0 a≥1

，无解，
综上实数a的取值范围是[0，1）．

点评：解题的关键是熟练掌握复合命题的真假规律，求得简单命题为真时a的范围．