Question

已知三角形ABC的两顶点A、B分别是曲线x²+5y²=5的左右焦点，且内角满足

sinA

sinB

=

2 -cosA

2 +cosB

．
（1）求顶点C的轨迹方程E；
（2）若x轴上有两点M(2，0)，N（1，0），过N的直线与曲线E的交点是D、E．求k_DM+k_EM的值．

Answer 1

分析：（1）由

sinA

sinB

=

2 -cosA

2 +cosB

，利用三角函数的和角公式化得：

2

sinB-

2

sinA=sinC，再结合正弦定理得出边的关系式，最后利用双曲线的定义即可求出顶点C的轨迹E的方程；
（2）设所求直线的方程为l：y=k（x-1），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用斜率公式即可求得k_DM+k_EM的值，从而解决问题．

解答：解：（1）由

sinA

sinB

=

2 -cosA

2 +cosB

，得

2

sinB-

2

sinA=sinC，|AC|-|BC|=

1

2

|AB|=2

2

＜|AB|，
所以顶点C的轨迹E的方程为x²-y²=2（x＞1）．
（2）设l：y=k（x-1）（斜率不存在时不合题意），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
由

x2-y2=2 y=k(x-1)

得（1-k²）x²+2k²x-k²-2=0，
则△＞0时，有x1+x2=

2k2

k2-1

，x1•x2=

k2+2

k2-1

．
∴kDM+kEM=

y1

x1-2

+

y2

x2-2

=

1

(x1-2)(x2-2)

[kx2(x1-1)+kx1(x2-1)-2k(x1+x2-2)
=

1

(x1-2)(x2-2)

[2kx1x2-3k(x1+x2)+4k]=

1

(x1-2)(x2-2)

(

2k3+4k

k2-1

-

6k3

k2-1

+4k)=0．

点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的标准方程、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．