Question

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF₂为直径的圆．
（Ⅰ）当⊙M的面积为时，求PA所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙M与直线AF₁相切时，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆方程求得焦点，顶点的坐标，设出点P的坐标，进而表示出|PF₂|的长度进而根据圆M的面积求得x₁，求得P的坐标，则PA所在的直线方程可得．
（Ⅱ）根据点M到直线AF₁的距离求得x₁和y₁的关系式，进而与椭圆方程联立求得x₁，进而求得M的坐标则圆的方程可得．
（Ⅲ）首先表示出OM的长度，以及圆M的半径，进而求得OM=r₁-r₂，推断出⊙M和以原点为圆心，半径为r₁=（长半轴）的圆相内切．
解答：解：（Ⅰ）易得F₁（-1，0），F₂（1，0），A（0，-1），设点P（x₁，y₁），
则，
所以
又⊙M的面积为，∴，
解得x₁=1，∴，
∴PA所在直线方程为或
（Ⅱ）因为直线AF₁的方程为x+y+1=0，且到直线AF₁的距离为
化简得y₁=-1-2x₁，联立方程组，
解得x₁=0或
∴当x₁=0时，可得，
∴⊙M的方程为；
当时，可得，
∴⊙M的方程为
（Ⅲ）⊙M始终和以原点为圆心，半径为r₁=（长半轴）的圆（记作⊙O）相切
证明：因为
=，
又⊙M的半径r₂=MF₂=，
∴OM=r₁-r₂，∴⊙M和⊙O相内切．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．