Question

如图,正方形所在平面与圆所在平面相交于，

线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足

是圆上异于、的点，，圆的直径为9．

  （1）求证：平面平面；

（2）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

（2）解法1：∵平面，平面，

∴．

∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，由，解得，．

∴．

过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，

∴．

∵，

∴平面．

∵平面，

∴．

∵，，

∴平面．

∵平面，

∴．

∴是二面角的平面角．

在△中，，，，

∵，  ∴．

在△中，，   ∴．

故二面角的平面角的正切值为．

解法2：∵平面，平面，

∴． ∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．   ∴．

以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，[来源:]

．

设平面的法向量为，

则即

取，则是平面的一个法向量．

设平面的法向量为，

则即

取，则是平面的一个法向量．

∵，

∴．∴．

故二面角的平面角的正切值为．