Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）+f（x-$\frac{π}{3}$），求函数g（x）在区间[0，π]上的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）由图知$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$，解得A，B，又$\frac{T}{2}=\frac{5π}{12}-（-\frac{π}{12}）=\frac{π}{2}$，可解得T，ω，将点（-$\frac{π}{12}$，-1）代入，再由|φ|＜π，得φ，即可得解．
（2）由三角函数恒等变换的应用化简求得解析式g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2，由2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，又结合x∈[0，π]，即可求得单调减区间．

解答 解：（1）由图知$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$，解得A=2，B=1，…（2分）
又$\frac{T}{2}=\frac{5π}{12}-（-\frac{π}{12}）=\frac{π}{2}$，所以T=π，故ω=2，…（4分）
所以f（x）=2sin（2x+φ）+1，将点（-$\frac{π}{12}$，-1）代入，得φ=2k$π-\frac{π}{3}$，k∈Z，
再由|φ|＜π，得φ=-$\frac{π}{3}$，所以f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．…（6分）
（2）因为g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）+f（x-$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2sin（2x-π）+2
=$\sqrt{3}$cos2x-sin2x+2
=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2，…（10分）
由2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，解得k$π-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$，k∈Z，
又x∈[0，π]，故所求的单调减区间为[0，$\frac{5π}{12}$]，[$\frac{11π}{12}$，π]．…（14分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．