Question

已知数列{a_n}的首项a₁=t＞0，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…
（1）若t=

3

5

，求{a_n}的通项公式；（2）若a_n+1＞a_n对一切n∈N^*都成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将等式an+1=

3an

2an+1

两边同取倒数可得

1

an

=

1

3an

+

2

3

，则

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，可构造数列{

1

an

-1}的首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列，求出通项，从而可求出{a_n}的通项公式；
（2）由a1＞0，an+1=

3an

2an+1

知a_n＞0，而a_n+1＞a_n得

1

an+1

＜

1

an

，根据（1）可知

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，即

1

an

-1=(

1

t

-1)(

1

3

)n-1，代入

1

an+1

＜

1

an

可得关于t的不等关系，解之即可．

解答：解：（1）由题意知a_n＞0，an+1=

3an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2an+1

3an

，即

1

an

=

1

3an

+

2

3

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∴数列{

1

an

-1}的首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列
则

1

an

-1=(

5

3

-1)(

1

3

)n-1=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

（2）由（1）知

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，即

1

an

-1=(

1

t

-1)(

1

3

)n-1
由a1＞0，an+1=

3an

2an+1

知a_n＞0，
故a_n+1＞a_n得

1

an+1

＜

1

an

即(

1

t

-1)(

1

3

)n+1＜(

1

t

-1)(

1

3

)n-1+1
得

1

t

-1＞0，又t＞0，则0＜t＜1
∴t的取值范围为（0，1）

点评：本题主要考查了数列的递推式，以及利用构造新数列求通项和数列与不等式的综合，同时考查了计算能力，属于中档题．