Question

选修4-5：不等式选讲
设关于x的不等式|x-1|≤a-x．
（I） 当a=2，解上述不等式．
（II）若上述关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I） 当a=2时，不等式等价于①

x≥1 x-1≤2-x

，或 ②

x＜1 1-x≤2-x

，分别求出①、②的解集，再取并集，即得所求．
（II）当x≥1时，不等式即 x≤

a+1

2

，要使不等式有解，需x的最小值小于或等于

a+1

2

，从而求得实数a的取值范围．当x＜1时，不等式即 1≤a，综合可得实数a的取值范围．

解答：解：（I） 当a=2，上述不等式为|x-1|≤2-x，不等式等价于①

x≥1 x-1≤2-x

，或 ②

x＜1 1-x≤2-x

．
解①得 1≤x≤

3

2

，解②得 x＜1，故不等式的解集为（-∞，

3

2

]．
（II）当x≥1时，不等式即 x-1≤a-x，即 x≤

a+1

2

．要使不等式有解，需x的最小值小于或等于

a+1

2

，∴1≤

a+1

2

，解得a≥1．
当x＜1时，不等式即1-x≤a-x，即 1≤a，此时，不等式有解，当且仅当a≥1．
综上可得，实数a的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．